同じ五回で、届く精度が変わる。
観測の回数が同じでも、保証できる精度は同じとは限りません。共有された偏りとノイズを含むモデルで、五回の適応的観測が全九項の最適精度に達する領域を証明しました。最善の固定方式との誤差比には、一定の上限がありません。
F最善の固定五項
誤差は平方根のオーダー
A五回の最適な適応的観測
誤差は一次のオーダー
FとAは最適な最悪絶対回復誤差。証明したパラメータ領域で他のモデル条件を固定し、ノイズの上限εをゼロへ近づけたときの結果です。
観測を始める前に、測る場所をすべて決めておく。あるいは、得られた値を見てから、次に何を測るかを選ぶ。この違いは、同じ回数の観測から得られる精度を、どこまで変えるのでしょうか。
ChoiceProofは、複数の観測に共通する偏りと、標定の不確かさ、有界な測定ノイズを持つ数理モデルで、この問いを研究しました。観測対象は連続的な状態です。評価するのは、想定した条件に適合するすべての状態と誤差に対して保証できる、最悪の場合の回復精度です。
五回で、全九項の最適精度へ。
九つの観測項目を持つ対象モデルで、最初の四回の結果から五回目の観測先を選ぶ方式を構成しました。
明示的な連続パラメータ領域において、この五回の観測だけで、九項すべてを観測した場合の最適な最悪誤差に到達します。全量観測を使っても改善できない精度の境界に、五回で届くという結果です。
観測先を選ぶための情報が、すでに得られた観測の中にある。その関係を利用することで、全量観測と同じ保証精度を、より少ない取得回数で実現します。
同じ観測予算でも、誤差の減り方そのものが変わる。
比較したのは、あらかじめ五箇所を固定するすべての方式の中で、最も精度のよいものです。
モデルの他の条件を固定してノイズを小さくすると、最適な固定方式の誤差はノイズの平方根のオーダーで減少します。一方、適応的な方式の誤差は一次のオーダーで減少します。
どちらの誤差もゼロへ近づきますが、縮まり方が異なります。そのため、固定方式の誤差を適応的な方式の誤差で割った比は、どの一定倍率も超えて大きくなります。この差を、達成可能な上界と、それ以上改善できない下界から導きました。
到達できる精度を、限界まで確かめる。
この研究では、対象とする秩一モデルについて、全量観測で到達できる最適な回復精度も、モデルのパラメータ全域にわたって特徴づけました。
達成する方法と、改善を妨げる下界を対応させることで、観測からどこまで状態を回復できるかを確定しています。数理的な証明に加え、独立した検査器による検証を行っています。
限られた観測予算の中で、何を取得し、どこで取得を終えるか。ChoiceProofは、その選択を保証付きで設計するための数学的基礎を研究しています。観測の価値を、取得数だけでなく、取得した情報が次の選択をどう変えるかまで含めて扱う研究です。